Excel’de Z Puanı Nasıl Hesaplanır?

Z Puanı veya Standart Puan Nedir?

Standart puan veya z puanı, gerçek puanın standart sapma birimleri cinsinden ortalamadan ne kadar saptığını hesaplamanın bir yoludur. Aynı zamanda farklı popülasyonlardan iki örneği karşılaştırmamızı sağlar. Z puanı negatif veya pozitif olabilir. Negatif z skoru değerin aritmetik değerin altında olduğu, pozitif z skoru ise değerimizin aritmetik değerin üzerinde olduğu anlamına gelir.

Z puanı, hesaplamak istediğimiz veri noktasından veri setinin ortalamasının çıkarılması ve veri setinin standart sapmasına bölünmesi ile hesaplanır.

Z Skor Günlük Hayatımızda Ne İşe Yarıyor?

Herkes istatistikçi ya da matematikçi değildir ancak herkes neredeyse her gün veri setleriyle uğraşır. İster ekran süreniz, ister final sınavınız, ister sınıfınız ya da geçen yıl giyime ne kadar harcadığınız olsun. Bu, ortalama veya sapma gibi istatistiksel ölçümleri de kullandığımız anlamına gelir.

Ama z skoru nerede kullanılmalı?

1. Farklı dağılımlara sahip iki farklı veri setini karşılaştırırken kullanabiliriz. Örneğin:

Sufle yapma sanatında ustalaşmış iki şefimiz var. Diyelim ki ilk şefimizin adı Sasha ve diğerinin adı David. David bir yemek yarışmasına katıldı ve 500 üzerinden 472 puan aldı. Sasha da bu tür bir yarışmaya katılıyor ve 100 üzerinden 82 puan alıyor. Şimdi kimin daha başarılı olduğuna karar vermeliyiz. Ama nasıl? David’in puanı değer olarak Sasha’nınkinden daha yüksek ama onları bu şekilde karşılaştıramayız. Bu gibi durumlarda, ham puanları z puanlarına dönüştürürüz. Bu şekilde yarışmada kimin daha başarılı olduğunu hesaplayabiliriz.

David’in yarıştığı yarışmada ortalama 392 ve standart sapma 100’dür. Standart puanı hesaplamak için David’in puanı olan 472’den ortalama olan 392’yi çıkarır ve standart sapmaya böleriz. Bunun için doğru denklem şudur: “472 -392 /100″ yani +0,08. David’in puanı ortalamanın 0,08 standart sapma üzerindedir.

Sasha’nın yarışmasında ortalama 52 ve standart sapma 30 idi. Şimdi David’in yarışması için kullandığımız formülü uygulayalım. Ortalamayı puandan çıkarır ve standart sapmaya böleriz. Bunun için denklem şudur: ” 82 -52 /30 “. Sasha’nın z puanı +1.0’dır. Bu da Sasha’nın ortalamanın 1.0 standart sapma üzerinde olduğu anlamına gelir.

Şimdi David ve Sasha’nın puanlarını kolayca karşılaştırabiliriz. David ortalamanın 0,8 standart sapma üzerinde, Sasha ise 1,0 standart sapma üzerinde. Bu, Sasha’nın David’den daha iyi bir sufle pişiricisi olduğu anlamına geliyor; istatistikler bize bunu söylüyor. Ama belki de ikisini de denemeden karar vermemeliyiz.

“Standart puanın kullanıldığı bir diğer alan da dünya genelinde çocukların büyümesinin ölçülmesidir. Yaşa göre ağırlık ve boy ya da ağırlığa göre boy hesaplamalarında kullanılır. Standart sapma -2 veya -3’ün altına düşen çocuklara yetersiz beslenme teşhisi konur.”¹

İpucu: Her zaman z puanlarına eksi veya artı ekleyin ve 0,x’ten sonra iki basamaklı sayılara dönüştürmeye çalışın ve değer 1’den küçükse virgülden önce her zaman 0 eklemelisiniz. Örneğin, ortalamanın üzerinde 0, 8798, +0, 88’e dönüştürülmelidir.

2. İki Puan Sıklığını Karşılaştırın

Az önce oluşturduğumuz z ölçeğine bakarak yarışmacılardan kaçının Sasha veya David’in puanını aldığını belirleyebilirim. Z ölçeğine bakarak David’in puanını alan kişilerin Sasha’nın puanını alan kişilerden daha fazla olduğunu söyleyebilirim. Çünkü verilerin çoğu ortalamanın 1 standart sapma altında veya üstünde toplanmıştır.

3. Skoru Tahmin Etmemizi Sağlıyor

Z ölçeğine bakarak Sasha veya David’in puanlarını almalarının muhtemel olup olmadığını belirleyebiliriz. Bunu varsayımsal ölçümlerde kullanabiliriz.

“Peki ham verileri z skorlarına dönüştürmek onları karşılaştırmamıza nasıl yardımcı oldu? Çünkü z skoru dağılımı her zaman 0 ortalamaya ve 1.00 standart sapmaya sahiptir. Orijinal dağılım normal olmasa bile ortalama 0 ve standart sapma 1.00’dir. Bu, örneğimizde olduğu gibi farklı ölçülmüş olsalar bile iki farklı veri setini standartlaştırmamıza ve karşılaştırmamıza yardımcı olur.

Bir z puanı dağılımındaki çoğu veri, ortalamadan 1,00 standart sapmanın altında ve üstündedir. Ortalamanın 2 standart sapma üstü ve altı arasında daha az veri vardır ve artı ve eksi 3 standart sapmadan daha büyük veri bulmak çok nadirdir.”²

Z Skoruna Neden İhtiyacımız Var?

Yukarıdaki örneklerden de anlaşılacağı üzere, herhangi bir ölçüm türünden elde edilen verileri standartlaştırarak iki farklı veri setini karşılaştırmak için z skoruna ihtiyacımız vardır.

Verilerinizi z skoruna dönüştürmek temelde verilerinizi yeniden ölçeklendirir ve standartlaştırır. Bu yüzden standart skor olarak da adlandırılır.

Z skorunu bir kurabiye kesici olarak düşünebiliriz. Kurabiye hamurunu ya da straforu kesebilirsiniz ama her ikisi de zencefilli kurabiye adama benzeyecektir.

Z Skoru Matematiksel Olarak Nasıl Hesaplanır?

Z skoru veya standart skor, veri noktası eksi adam bölü standart sapma ile hesaplanır. Peki bu terimler ne anlama geliyor?

Bir şey hakkında bireysel bilgi topladığımızda, tüm grup verisi, veri seti veya popülasyon olarak adlandırırız. Bu makalede tüm veriler sayısaldır ancak veriler gerçek hayatta herhangi bir bilgi türü olabilir. Tek bir veri parçası veri noktası veya birey olarak adlandırılabilir ve kafanızın karışmaması için bu iki şekilde de bahsedeceğim.

Ortalama, istatistikte “ortalama” anlamına gelir. Tüm verilerin toplanması ve veri sayısına bölünmesi ile hesaplanır. Bir örnek vereceğim ve bu örnekler sırasında benimle birlikte takip etmenizi ve hesaplamanızı şiddetle tavsiye ediyorum. Örneğin diyelim ki her gün ekran karşısında kaç saat geçirdiğimizi merak ettik ve bir hafta boyunca günlük ekran başında geçirdiğimiz süreyi 2, 2, 5, 3, 7, 1 ve 1 olarak yazdık. Tüm bu sayıları topluyoruz ve sonuç 21 oluyor. Şimdi elimizde 7 ayrı veri noktası var, bu yüzden 21’i 7’ye böldük ve sonucu 3 olarak bulduk. Her hafta ekran karşısında ortalama 3 saat geçiriyoruz.

Z skorunu belirlemek için bulmamız gereken bir diğer şey de standart sapmadır. Standart sapma, ortalama ile gerçek veriler arasındaki boşluğu belirlemek için kullanılan istatistiksel bir terimdir. Küçük bir standart sapma, veri seninin tutarlı ve normal olduğu anlamına gelir. Veri noktaları birbirine yakındır. Yüksek bir standart sapma, veri setinin tutarsız, beklenmedik ve bazen güvenilmez olduğu anlamına gelir. Veri setindeki bireylerin birbirine yakın olmadığı ancak sayı doğrusu boyunca yayıldığı anlamına gelir.

Standart sapmayı hesaplamak için tüm sayıları ortalamadan çıkarırız ve negatif değerler elde etmemek için karelerini alırız. Bu kareli sayıları toplar ve veri setimizdeki birey sayısının bir eksiğine böleriz.

Ekran süresi örneğimiz için bunu şu şekilde açıklayabiliriz:

Ortalama 3 olduğundan her veri noktasından 3 çıkaracağız. Pazartesi günü ekran başında 2 saat geçiriyoruz, bu da “2 -3 = -1” anlamına geliyor. Şimdi bulduğumuz “- 1” sonucunun karesini alıyoruz ve 1 sayısına ulaşıyoruz.

Veri setimizdeki her bir birey için aynı formülü uygulayacağız. Daha sonra bu sayıları toplayacağız ve √30 sonucunu elde edeceğiz. Bunu veri noktası sayısı olan 6’nın bir eksiğine böleceğiz. Bu da bize 0,9 sonucunu getirecektir. Bu bizim standart sapma değerimizdir.

Standart sapma ve excel’de nasıl hesaplanacağı hakkında daha fazla bilgi edinmek için Excel’de Standart Sapma Nasıl Hesaplanır makalemizi ziyaret edebilirsiniz.

Artık ortalama ve standart sapmaya sahip olduğumuza göre z puanını hesaplayabiliriz.

Ekran süresi örneğine devam ederek Pazartesi gününün z puanını hesaplayacağız. Bunu yapmak için veri noktamızdan ortalamayı çıkarmalı ve standart sapma değerine bölmeliyiz. Bizim için bu “2 -3 = -1″ anlamına gelir. Şimdi -1’i standart sapma değerimiz olan 0,9’a böleriz, ” -1 /0,9 = -1,1 “. Sonuç -1,1’dir. Bu, Pazartesi günü ekran başında geçirdiğimiz sürenin ortalamadan 1’den fazla ve 2’den az standart sapma uzaklığında olduğu anlamına gelir.

Excel’de Z Puanı Nasıl Hesaplanır?

Önceki paragraflarda açıkladığımız gibi z puanı, veri noktası eksi ortalama bölü standart sapma ile hesaplanır. Excel’de z skorunu hesaplamak için öncelikle verilerimizi alt alta sütunlara yazmamız gerekir.

Excel’de z skorunu belirli formüller kullanarak hesaplayabiliriz. Excel formüllerini kullanmanın iyi yanı, formülleri büyük veri kümeleri için uyarlayabilmemizdir. Bu da daha hızlı ve kolay hesaplama yapmamızı sağlar. Bunu adım adım nasıl yapacağımızı öğrenelim.

Adım 1: Veri Setinizi Belirleyin

Diyelim ki İngiliz dili ve edebiyatı öğrencilerinin final sınavlarını hesaplıyoruz ve diyelim ki puanları 72, 90, 87, 65, 50, 78, 82, 63, 55 ve 80. Bu on veri noktası A sütunu ve 2. satırdan A sütunu 11. satıra kadar yazılır. Kolayca sıralayabilmek için sayfamızda A1’e “Test Puanları”, B1’e “Z puanı” ve C1’e “Z puanı” yazmayı tercih ettim. İki “Z puanı” sütunu ekledim çünkü hem manuel hem de otomatik olarak nasıl hesaplanacağını göstereceğim.

İpucu: Formülleri yazarken başvurduğunuz hücre vurgulanır, böylece yazdığınız her şeyi iki kez kontrol etmeniz gerekmez.

Adım 2: Ortalamayı Hesaplayın

Veri setimizin z puanını belirlemek için ortalamayı kullanacağımızdan, ortalamayı hesaplamamız gerekir. Ortalama, bir grup verinin matematiksel ortalaması anlamına gelir. Matematiksel olarak tüm sayıları toplamak ve 10’a bölmek anlamına gelir, ancak excel’de hızlı bir şekilde hesaplamak için basit bir formül kullanırız. A, B veya C sütunları dışında bir hücreye “Ortalama” yazalım. Bunlar dışında herhangi bir satır ve sütun olabilir. Ben bu örnek için F2’yi seçiyorum. Yanındaki bizim için G2 olan boş hücreye tıklayın ve ortalamayı hesaplamak için sayfamızın üstündeki formül alanına formülü yazın:

=ORTALAMA(A2: A11)

Enter tuşuna basın ve ortalamayı elde edin. 72,2

Adım 3: Standart Sapmayı Hesaplayın

Bundan sonra standart sapmayı hesapladık. Standart sapma bize her bir verinin ortalamadan ne kadar uzak olduğunu gösteren bir ölçümdür. Matematiksel olarak, ortalamadan tüm sayıları çıkararak ve karelerini alarak hesaplarız, böylece tüm sonuçlar negatif yerine pozitif olur. Tüm bu kareli sayılar birbirine eklenecek ve veri setimizdeki birey sayısının bir eksiğine bölünecektir (bu örnekte 10’dur). Excel’de bunun için de bir formül var elbette.

Bir hücreye “Standart Sapma” yazalım. Uygulamamız için F3’ü seçtim. Yanındaki boş hücreye, yani G3’e gideceğiz ve formülümüzü sayfamızın üzerindeki formül alanına yazacağız.

Excel’in en son sürümlerini kullananlar için formül şöyle olmalıdır:

=STDEV.S(A2: A11)

Ancak önceki sürümler için STDEV.S formülü yerine STDEV formülünü kullanırız. Yani:

=STDEV(A2:11)

Enter tuşuna basın ve standart sapma yaklaşık 13,55’tir

İpucu: En son sürümleri kullanıp kullanmadığınızdan emin değilseniz endişelenmeyin, excel kullandığınız formülü güncel bir formülle değiştirmenizi söyler.

ADIM 4: Z Puanını Manuel Olarak Hesaplama

Ortalamayı ve formülü hesapladığımıza göre z skorunu hesaplamaya başlayabiliriz.

İlk bireyimizin, bizim için 72 olan, z puanını belirlemeye başlayabiliriz. Bireyden ortalamayı çıkaracağız ve bunu standart sapmaya böleceğiz.

Ortalamamızın G2 hücresinde ve standart sapma değerinin G3 hücresinde olduğunu hatırlatmak isteriz.

Şimdi yapacağımız şey boş B2 hücresine tıklamak ve şunu yazmak

=(A2- G2)/ G3

Bu da bize -0,01476 sonucunu verecektir. İlk bireyimiz için z skoru -0,01476’dır.

Şimdi A2 yerine hesapladığımız hücreyi koymak dışında aynı formülü girerek diğer bireylerin z puanlarını hesaplayabiliriz. Ancak hepsini hesaplamanın daha kolay bir yolu var.

Formülün bulunduğu hücreye tıklıyoruz ve standart sapma değeri hücresini ve ortalama değer hücresini kilitliyoruz. Bunu yapmak için dolar sembolünü ($) kullanıyoruz. G2 ve G3 için sütun harfinin ve satır numarasının yanına bir dolar işareti koyuyoruz. A2 sütununu kilitlemedik çünkü hesaplayacağımız her birey için değişmesi gerekiyor. Formülümüz şu şekilde görünmelidir:

=(A2:$G$2)/$G$3

Artık hücrelerimizi kilitlediğimize göre, B2 hücresinin sağ alt köşesine tıklayabilir ve B11’e sürükleyebiliriz. Artık tüm veri setimiz için z skorlarımız var.

Adım 5: Z Puanı için Formülü STANDARDİZE ET

Bu, z skorunu hesaplamanın manuel yoluydu. Bunu belirlemek için STANDARDIZE formülünü de kullanabilirsiniz.

Diyelim ki aynı veri kümesini kullanıyoruz. A2 hücresinden A11 hücresine kadar 72, 90, 87, 65, 50, 78, 82, 63, 55 ve 80. Ortalamamız G2 hücresinde ve standart sapma değerimiz G3 hücresinde.

Başlangıçta iki adet “Z puanı” sütunu oluşturduk. Yani hangi sütunu doldurduysanız, yanındaki boş sütunu da doldurmanız gerekiyor. Bizim uygulamamızda bu sütun C harfinin olduğu sütundur.

Boş C2 hücresine tıklıyoruz ve sayfamızın üzerindeki formül alanına STANDARDIZE formülünü yazıyoruz:

=STANDARDIZE (A2, G2, G3)

Enter tuşuna basarız ve değer diğer z skoru sütunumuzla aynıdır. 0,01476’dır.

Bunu tüm veri seti için daha önce yaptığımız şekilde yapabiliriz. Ortalama değer hücresini ve standart sapma değeri hücresini, sütun harfinin ve satır numarasının yanına dolar işareti ($) ekleyerek kilitliyoruz. Yine veri noktasının hücresini kilitlemeyeceğiz çünkü her hücre için değişmesini istiyoruz. Şimdi formülümüz şöyle görünmelidir:

=STANDARDIZE (A2,$G$2,$G$3)

Artık hücrelerimizi kilitlediğimize göre, C2 hücresinin sağ alt köşesine tıklayabilir ve C11’e sürükleyebiliriz. Artık tüm veri setimiz için z skorlarımız var.